Preuve numérique pour un petit

Astronomie de la nature (2023)Citer cet article

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Les champs magnétiques à petite échelle sont omniprésents dans l'Univers. Bien qu'ils puissent souvent être observés en détail, leurs mécanismes de génération ne sont pas entièrement compris. Une possibilité est la soi-disant dynamo à petite échelle (SSD). Cependant, les preuves numériques dominantes semblent indiquer qu'il est peu probable qu'un SSD existe à des nombres de Prandtl magnétiques (PrM) très faibles tels que ceux qui sont présents dans le Soleil et d'autres étoiles froides. Ici, nous avons effectué des simulations à haute résolution de la turbulence forcée isotherme en utilisant les valeurs PrM les plus basses obtenues jusqu'à présent. Contrairement aux découvertes antérieures, le SSD s'avère non seulement possible pour des PrM jusqu'à 0,0031, mais devient également de plus en plus facile à exciter pour des PrM inférieurs à environ 0,05. Nous relions ce comportement au phénomène hydrodynamique connu appelé effet de goulot d'étranglement. L'extrapolation de nos résultats aux valeurs solaires de PrM indique qu'un SSD serait possible dans de telles conditions.

Les écoulements astrophysiques sont considérés comme sensibles à deux types d'instabilité de dynamo. Premièrement, une dynamo à grande échelle (LSD) est excitée par des écoulements présentant une hélicité, ou plus généralement, dépourvus de symétrie miroir, en raison de la rotation, du cisaillement et/ou de la stratification. Il génère des champs magnétiques cohérents et dynamiquement pertinents à l'échelle globale de l'objet en question1. Les caractéristiques des LSD varient en fonction des effets génératifs dominants, comme la rotation différentielle dans le cas du Soleil. La turbulence convective fournit à la fois des effets génératifs et dissipatifs2, et leur présence et leur pertinence astrophysique ne sont plus fortement débattues.

La présence de l'autre type d'instabilité de dynamo, à savoir la dynamo à petite échelle ou à fluctuation (SSD), reste cependant controversée en physique solaire et stellaire. Dans un système SSD-actif, le champ magnétique est généré à des échelles comparables ou inférieures aux échelles caractéristiques de l'écoulement turbulent, permis par l'étirement chaotique des lignes de champ à un nombre de Reynolds magnétique élevé3. Contrairement au LSD, l'excitation d'un SSD nécessite une turbulence nettement plus forte1. De plus, il a été théorisé qu'il devient de plus en plus difficile d'exciter un SSD à très faible nombre de Prandtl magnétique PrM (réfs. 4,5,6,7,8,9,10), le rapport de la viscosité cinématique ν et de la diffusivité magnétique η. Dans le Soleil, PrM peut atteindre des valeurs aussi basses que 10−6–10−4 (réf. 11), répudiant ainsi sérieusement la présence d'un SSD. Les modèles numériques de SSD en convection solaire près de la surface fonctionnent généralement à PrM ≈ 1 (réfs. 12,13,14,15,16,17,18) et contournent ainsi le problème des dynamos à faible PrM.

Un SSD puissant peut potentiellement avoir un impact important sur les processus dynamiques du Soleil. Il peut, par exemple, influencer le transport du moment cinétique et donc la génération de rotation différentielle19,20, interagir avec le LSD21,22,23,24,25 ou contribuer au chauffage coronal via un flux de Poynting photosphérique amélioré26. Par conséquent, il est très important de clarifier si oui ou non un SSD peut exister dans le Soleil. D'un point de vue observationnel, il est encore débattu de savoir si le champ magnétique à petite échelle à la surface du Soleil a des contributions du SSD ou est uniquement dû à l'enchevêtrement du champ magnétique à grande échelle par les mouvements turbulents27,28,29,30,31 ,32. Cependant, ces études montrent une légère préférence des champs à petite échelle pour être indépendants du cycle. Les SSD à petit PrM sont également importants pour l'intérieur des planètes et pour les expériences sur les métaux liquides33.

Diverses études numériques ont rapporté des difficultés croissantes à exciter le SSD lors de la diminution de la PrM (réfs. 6, 10, 34), confirmant les prédictions théoriques. Cependant, les modèles numériques actuels n'atteignent que PrM = 0,03 en utilisant une diffusion physique explicite ou un PrM légèrement inférieur (estimé), en s'appuyant sur une hyperdiffusion artificielle7,8. Pour obtenir une PrM encore plus faible, il faut augmenter massivement la résolution de la grille (voir aussi réf. 35). L'excitation du SSD nécessite un nombre de Reynolds magnétique (ReM) généralement supérieur à 100 ; ainsi, par exemple, PrM = 0,01 implique un nombre de Reynolds fluide Re = 104, où \({{{\rm{Re}}}}={u}_{{{{\rm{rms}}}}}\ ell /\nu\), avec urms étant la vitesse quadratique moyenne intégrée en volume, ℓ une échelle caractéristique de la vitesse et ReM = PrMRe. Dans cet article, nous empruntons cette voie et réduisons considérablement le PrM à l'aide de simulations à haute résolution.

Nous incluons des simulations avec des résolutions de 2563 à 4 6083 points de grille et Re = 46 à Re = 33 000. Cela nous permet d'explorer l'espace des paramètres de PrM = 1 à PrM = 0,0025, qui est plus proche de la valeur solaire que ce qui a été étudié dans les études précédentes. Pour chaque exécution, nous mesurons le taux de croissance λ du champ magnétique dans sa phase cinématique et déterminons si un SSD est excité ou non.

Pour permettre une exploration approfondie de l'effet de PrM, nous omettons les effets à grande échelle tels que la stratification, la rotation et le cisaillement. Nous évitons les temps d'intégration excessifs, nécessaires pour simuler la convection, en pilotant explicitement l'écoulement turbulent dans des conditions isothermes. Notre configuration de simulation consiste en une boîte entièrement périodique avec une force volumique aléatoire (voir Méthodes pour plus de détails) ; l'écoulement présente un nombre de Mach d'environ 0,08. Sur la figure 1, nous visualisons la vitesse et les champs magnétiques de l'un des cas de résolution et de nombre de Reynolds les plus élevés. Comme on pouvait s'y attendre pour la turbulence à faible PrM, l'écoulement présente des structures beaucoup plus fines, de type fractale, que le champ magnétique. Notez que tous nos résultats se réfèrent à l'étape cinématique du SSD, où l'intensité du champ magnétique est beaucoup trop faible pour influencer le flux mais autrement arbitraire.

Vitesse d'écoulement (à gauche) et intensité du champ magnétique (à droite) à partir d'une course active SSD haute résolution avec Re = 18 200 et PrM = 0,01 sur la surface de la boîte de simulation.

Sur la figure 2, nous visualisons le taux de croissance λ en fonction de Re et ReM. Nous trouvons des taux de croissance positifs pour tous les ensembles de pistes avec PrM constant si ReM est suffisamment grand. λ augmente toujours avec l'augmentation de ReM comme prévu. Étonnamment, les taux de croissance sont nettement plus faibles dans l'intervalle de Re = 2 000 à Re = 10 000 qu'en dessous et au-dessus. Avec les valeurs ReM utilisées, cela correspond approximativement à un intervalle PrM d'environ 0,1 à 0,04.

Les losanges représentent les résultats de ce travail et les triangles représentent les résultats de la réf. 10. Le code couleur indique la valeur du taux de croissance normalisé λτ avec τ = 1/urmskf, une estimation approximative du temps de rotation. Les lignes pointillées indiquent le nombre de Prandtl magnétique constant PrM. Les cercles blancs indiquent un taux de croissance nul pour certains PrM, obtenus à partir de l'ajustement du nombre de Reynolds magnétique critique, comme illustré à la Fig. 3 ; les erreurs d'ajustement sont signalées par des barres jaune-noir (section supplémentaire 5). Les couleurs de fond, y compris la fine ligne noire (croissance nulle), sont attribuées par interpolation linéaire des données de simulation. La ligne pointillée verte montre l'ajustement en loi de puissance du ReM critique pour PrM ≤ 0, 08, avec une puissance de 0, 125 (Fig. 3b).

Les taux de croissance pour PrM = 0,1 correspondent très bien à ceux de la réf. 10, indiqué par des triangles sur la Fig. 2. D'après la Fig. 2, nous voyons clairement que le nombre de Reynolds magnétique critique \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}} }}}^{{{\rm{crit}}}}}\), défini par le taux de croissance λ = 0, augmente d'abord en fonction de Re puis diminue pour Re > 3 × 103 (voir la fine ligne noire ). Regarder \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\) comme une fonction du nombre de Prandtl magnétique PrM, il augmente d'abord lorsque PrM diminue, puis diminue pour PrM < 0,05. Ainsi, un SSD est plus facile à exciter ici que pour 0,05 < PrM < 0,1. Nous pourrions même trouver un taux de croissance positif presque marginal pour PrM = 0,003125. La diminution de λ à faible PrM est un résultat important car on pensait que la SSD était encore plus difficile4,9 ou au moins aussi difficile7,8 à exciter lorsque la PrM était encore diminuée par rapport aux valeurs précédemment étudiées. Les taux de croissance concordent qualitativement avec les travaux antérieurs à faible PrM (réf. 6, 7, 8).

Pour une détermination plus précise de \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\ ), nous traçons ensuite les taux de croissance pour PrM fixe en fonction de ReM (Fig. 3a). Les données sont cohérentes avec \(\lambda \propto \ln ({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}/{{{{\rm{Re }}}}}_{{{{\rm{M}}}}^{{{{\rm{crit}}}}})\) comme théoriquement prédit36,37. En conséquence, nous sommes en mesure de déterminer \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}} }\) en fonction de PrM (Fig. 3b). Ce graphique montre clairement qu'il existe trois régions distinctes d'excitation de dynamo. Lorsque PrM diminue dans la plage 1 ≥ PrM ≥ 0,1, il devient beaucoup plus difficile d'exciter le SSD. Dans la plage 0,1 ≥ PrM ≥ 0,04, l'excitation est plus difficile avec peu de variation de \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{ {\rm{crit}}}}}\). Pour PrM ≤ 0,04, cela redevient plus facile à mesure que PrM diminue. Dans les réf. 7,8, les auteurs ont déjà trouvé une indication de \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit} }}}}\) pour se stabiliser avec une PrM décroissante, cependant, uniquement lors de l'utilisation d'une hyperdiffusion artificielle. De même, avec nos barres d'erreur, une constante \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}} }}\) ne peut pas être exclu pour 0,01 < PrM < 0,1. Cependant, à PrM = 0,005, la barre d'erreur permet de conclure que \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm {crit}}}}}\) est ici plus faible qu'à PrM = 0,05. Cela confirme à nouveau notre résultat que \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\ ) diminue avec la PrM pour une PrM très faible.

a, Taux de croissance normalisé λτ en fonction du nombre de Reynolds magnétique ReM pour les ensembles de simulation avec un nombre de Prandtl magnétique fixe PrM, indiqué par différentes couleurs. Fonctions logarithmiques \(\lambda \tau \propto \ln ({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}/{{{{\rm{Re} }}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}})\) selon les réfs. 36,37 ont été ajustés séparément aux ensembles individuels, comme indiqué par les lignes colorées (voir la ligne pointillée pour la pente moyenne). b, nombre de Reynolds magnétique critique \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\ ) en fonction de PrM obtenu à partir des ajustements en a. Les barres d'erreur indiquent l'erreur d'ajustement (Section supplémentaire 5). Le losange indique une course avec un taux de croissance λ ≈ 0 ; par conséquent, son ReM représente \(\sim {{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}} \) pour le PrM utilisé = 0,003125. La ligne pointillée rouge est un ajustement de loi de puissance \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}} }}}\propto {\Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{0.125}\), valide pour PrM ≲ 0.08. La zone grisée indique l'intervalle PrM où la dynamo est la plus difficile à exciter (\({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{ \rm{crit}}}}}\gtrsim 150\)).

Pour PrM ≤ 0,05, la diminution de \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}} }\) avec PrM peut être bien représentée par la loi de puissance \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{ crit}}}}}\propto {\Pr}_{{{{\rm{M}}}}}^{0.125}\). Extrapoler cela au Soleil et aux étoiles de type solaire conduirait à \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{ crit}}}}}\approx 40\) à PrM = 10−6, ce qui signifie que nous pourrions nous attendre à ce qu'un SSD soit présent. Pour augmenter Re, en diminuant ν, il serait raisonnable d'affirmer que les propriétés statistiques de l'écoulement et donc \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}} }}^{{{{\rm{crit}}}}}\) deviennent indépendants de PrM. Cependant, des épisodes de comportement non monotone de \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}} }}\) à l'approche de cette limite ne peut être exclue.

La dépendance \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\) bien déterminée sur PrM avec ses barres d'erreur et l'ajustement de la loi de puissance ont été ajoutés à la Fig. 2, et concordent très bien avec la fine ligne noire pour λ = 0 interpolée à partir des taux de croissance.

Ensuite, nous cherchons des réponses à la question évidente qui se pose : pourquoi le SSD est-il plus difficile à exciter dans une certaine plage intermédiaire de PrM et plus facile à des valeurs inférieures et supérieures ? Pour cela, nous étudions les spectres d'énergie cinétique et magnétique d'un sous-ensemble représentatif des pistes (tableau supplémentaire 2). Nous montrons sur la Fig. 4 les spectres de deux exemples de cas : l'exécution F005, avec PrM = 0,05, sonde l'intervalle PrM de l'action dynamo entravée, tandis que l'exécution H0005, avec PrM = 0,005, est clairement en dehors (voir Fig. 1 et 2 pour les spectres des autres cas).

Spectres d'énergie cinétique (en haut) et magnétique (en bas) pour deux exemples d'exécutions avec Re = 7 958 et PrM = 0,05 (à gauche), et Re = 32 930 et PrM = 0,005 (à droite). Dans la rangée du milieu, les spectres cinétiques sont compensés par k5/3. Les lignes verticales indiquent le nombre d'onde de forçage kf (solide vert), le nombre d'onde du pic du goulot d'étranglement kb (solide rouge) et son point de départ kbs (pointillé rouge), le nombre d'onde de dissipation visqueuse kν (orange), le nombre d'onde de dissipation ohmique \({k }_{\eta }={k}_{\nu }{\Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{3/4}\) (bleu foncé) et le nombre d'onde magnétique caractéristique km (bleu clair). Tous les spectres sont moyennés sur la phase cinématique, après quoi chaque spectre magnétique individuel a été normalisé par son maximum, supprimant ainsi la croissance exponentielle.

Dans tous les cas, l'énergie cinétique en fonction du nombre d'onde k suit clairement une cascade de Kolmogorov avec Ekin ∝ k−5/3 dans le domaine inertiel. En compensant avec k5/3, on retrouve l'effet de goulot d'étranglement bien connu38,39 : une augmentation locale de l'énergie spectrale, s'écartant de la loi de puissance, comme on le trouve à la fois dans les expériences sur les fluides40,41,42 et les études numériques43,44. Il a été postulé qu'il était préjudiciable à la croissance du SSD4,10. Pour le spectre magnétique en revanche, pourtant bien visible pour seulement PrM ≤ 0,005, on retrouve une loi de puissance suivant Emag ∝ k−3. Une pente de 3/2 à de faibles nombres d'onde comme prédit par la réf. 45 n'est observé que dans les essais avec PrM proche de un, tandis que pour les essais intermédiaires et à faible PrM, la partie à pente positive du spectre se rétrécit pour ne couvrir que les valeurs k les plus basses, et les pentes négatives abruptes aux valeurs k élevées deviennent éminent. Une forte pente négative dans les spectres de puissance magnétique a également été observée par la réf. 7 pour PrM légèrement inférieur à l'unité. Cependant, les auteurs proposent une puissance provisoire de -1 étant donné que la pente -3 n'est pas encore clairement visible pour leurs valeurs de PrM.

En analysant nos simulations, nous adoptons la stratégie suivante. Pour chaque spectre, nous déterminons le nombre d'onde du goulot d'étranglement, kb, comme l'emplacement de son maximum dans le spectre compensé (lissé), ainsi que son point de départ kbs < kb à l'emplacement avec 75 % du maximum (Fig. 4, milieu). Nous calculons en outre un nombre d'onde magnétique caractéristique, défini comme kM = ∫kEmag(k)kdk/∫kEmag(k)dk, qui est souvent lié à l'échelle porteuse d'énergie. De plus, nous calculons le nombre d'onde de dissipation visqueuse \({k}_{\nu }={({\epsilon }_{{{{\rm{K}}}}}/{\nu }^{3})} ^{1/4}\) selon la théorie de Kolmogorov, où ϵK est le taux de dissipation visqueux 2νS2 avec le tenseur de vitesse de déformation sans trace du flux, S. D'après les relations entre ces quatre nombres d'onde (énumérés dans le tableau supplémentaire 2), nous tirons des informations sur le comportement observé de \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}} }\) par rapport à PrM.

Nous traçons kb/kν et kbs/kν en fonction de PrM sur la Fig. 5. Comme on pouvait s'y attendre, kb/kν, ou le rapport de l'échelle visqueuse à l'échelle du goulot d'étranglement, ne dépend pas de PrM, car le goulot d'étranglement est un phénomène purement hydrodynamique. Le début du goulot d'étranglement kbs ne devrait pas non plus dépendre de PrM, mais les faibles valeurs de Re pour PrM = 1 à PrM = 0,1 conduisent à des goulots d'étranglement apparents plus fins, d'où une faible dépendance non systématique. La zone ombrée en rouge entre kb et kbs est la partie à faible nombre d'ondes du goulot d'étranglement où la pente du spectre est supérieure (moins négative) à -5/3 (voir le tableau supplémentaire 2 pour les valeurs de la pente modifiée αb et la section supplémentaire 1 pour un débat). On note que αb ≈ −1.3 … −1.5 et peut donc s'écarter nettement de −5/3. La surimpression de la courbe kM/kν révèle qu'elle coupe la zone ombrée en rouge exactement là où la dynamo est la plus difficile à exciter (région II). Cela nous permet de conclure que la pente moins prononcée de la partie à faible nombre d'onde du goulot d'étranglement peut en effet être responsable de l'amélioration de \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}} }}^{{{{\rm{crit}}}}}\) dans l'intervalle 0,04 ≤ PrM ≤ 0,1. En utilisant ce graphique, nous pouvons maintenant expliquer clairement les trois régions d'excitation de la dynamo. Pour 0,1 ≤ PrM ≤ 1, la partie à faible nombre d'onde du goulot d'étranglement et l'échelle magnétique caractéristique sont complètement découplées. Cela rend le SSD facile à exciter (région I). Pour 0,04 ≤ PrM ≤ 0,1, (gris, région II), la dynamo est la plus difficile à exciter en raison de la pente moins prononcée des spectres cinétiques. Dans la région III, où PrM ≤ 0,04, la partie à faible nombre d'onde du goulot d'étranglement et l'échelle magnétique caractéristique sont à nouveau complètement découplées, ce qui rend la dynamo plus facile à exciter.

Nous montrons son pic kb et son point de départ kbs en rouge, le nombre d'onde magnétique caractéristique kM en bleu clair et le nombre d'onde de dissipation ohmique kη en bleu foncé. La zone ombrée en rouge entre kb et kbs correspond à la partie à faible nombre d'onde du goulot d'étranglement où l'écoulement turbulent est plus rugueux que pour une loi de puissance -5/3. Les chiffres romains indiquent les trois régions distinctes d'excitation de la dynamo. La région de croissance la plus faible (II) est sur-représentée en gris. Le nombre d'onde magnétique caractéristique kM peut être ajusté par deux lois de puissance (lignes pointillées noires) : \({k}_{{{{\rm{M}}}}}/{k}_{\nu }\propto {\ Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{0,54}\) pour PrM ≥ 0,05 et \({k}_{{{{\rm{M}}}}}/{k} _{\nu }\propto {\Pr }_{{{{\rm{M}}}}}^{0.71}\) pour PrM ≤ 0.05. Tous les nombres d'onde sont normalisés par le visqueux kν. Nous constatons que la dynamo est plus difficile à exciter si kM se situe dans le côté à faible nombre d'onde du goulot d'étranglement. Quitter cette région vers des nombres d'onde inférieurs ou supérieurs rend la dynamo plus facile à exciter. L'encart montre kM/kη en fonction de PrM.

De plus, nous constatons que la dépendance de kM/kν vis-à-vis de PrM diffère également entre les régions. Dans la région I, kM/kν dépend de PrM via \({k}_{{{{\rm{M}}}}}/{k}_{\nu }\propto {\Pr }_{{{{ \rm{M}}}}}^{0.54}\) et dans les régions II et III via \({k}_{{{{\rm{M}}}}}/{k}_{\nu } \propto {\Pr}_{{{{\rm{M}}}}}^{0.71}\). Cela devient particulièrement intéressant lorsque l'on compare le nombre d'onde magnétique caractéristique kM avec le nombre d'onde de dissipation ohmique qui est défini comme \({k}_{\eta }={k}_{\nu }{\Pr }_{{{{\rm {M}}}}}^{3/4}\). Dans la région I, nous trouvons une différence notable de kM et kη en valeur et en échelle. Cependant, dans la région III, la mise à l'échelle de kM est très proche de la mise à l'échelle 3/4 de kη. Ce comportement est encore mieux visible dans l'encadré de la Fig. 5, où le rapport kM/kη est de 0,3 pour PrM = 1 et tend vers l'unité pour une PrM décroissante, mais est susceptible de saturer en dessous de 0,75.

En conclusion, nous constatons que le SSD est progressivement plus facile à exciter pour les nombres de Prandtl magnétiques inférieurs à 0,04, contrairement aux découvertes antérieures, et qu'il est donc très probable qu'il existe dans le Soleil et d'autres étoiles froides. Pourvu de saturation à des niveaux suffisamment élevés, il a été proposé que la SSD influence fortement la dynamique des étoiles de type solaire : des études numériques antérieures, bien qu'à PrM ≈ 1, indiquent que cette influence concerne, par exemple, le transport du moment cinétique19,20 et le LSD21,22,23,24,25. Notre étude cinématique, cependant, montre seulement qu'un taux de croissance positif est possible à très faible PrM, mais pas si un SSD est capable de générer des intensités de champ dynamiquement importantes. Comme le ReM du Soleil et des étoiles de type solaire est supérieur de plusieurs ordres de grandeur au \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^ extrapolé {{{{\rm{crit}}}}}\) valeur de 40, nous nous attendons cependant à des SSD dynamiquement importants comme indiqué par PrM = 1 simulations15. Cependant, des simulations numériques avec PrM jusqu'à 0,01 montrent une diminution de la force de saturation avec une PrM décroissante (réf. 46).

Les résultats de notre étude sont bien en accord avec les études numériques précédentes considérant des plages de PrM qui se chevauchent partiellement6,7,8,10. Ces études ont trouvé des divergences avec la théorie de Kazantsev45 pour les faibles PrM, par exemple, le rétrécissement du spectre positif de Kazantsev aux nombres d'onde faibles et intermédiaires, et l'émergence d'une pente négative à la place aux grands nombres d'onde7. On pourrait étendre ce régime à des PrM encore plus basses et donc étudier plus avant ces écarts. Pour PrM ≤ 0,005, nous constatons que le spectre magnétique montre une échelle de loi de puissance k−3, qui est sensiblement plus raide que celle provisoire de k−1 proposée dans la réf. 7 pour 0,03 ≲ PrM ≲ 0,07 (mais uniquement pour l'hyperdiffusivité d'ordre 8). Cette découverte d'une loi de puissance aussi raide dans le spectre magnétique remet en question les prédictions théoriques actuelles et pourrait indiquer que le SSD fonctionnant à faible PrM est fondamentalement différent de celui à PrM ≈ 1.

Deuxièmement, nous constatons que les taux de croissance près du début suivent une dépendance ln(ReM) comme prédit par refs. 36,37, et non un \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{1/2}\) comme cela résulterait de l'intertial - SSD pilotés par gamme1,7. Nous n'observons pas non plus de tendance du taux de croissance à devenir indépendant de ReM au PrM le plus élevé, ce qui pourrait être une indication d'un SSD entraîné à l'échelle extérieure, comme le postule la réf. 7. De plus, nous trouvons que le pré-facteur de \(\gamma \propto \ln ({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}/{ {{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}})\) est presque constant avec sa moyenne autour 0,022, en accord avec 0,023 de la réf. 10. Une valeur constante signifie que l'échelle logarithmique est indépendante de PrM et semble avoir une validité générale.

Troisièmement, nous constatons que le nombre d'onde magnétique caractéristique mesuré kM est toujours inférieur au kη estimé, et de plus, kM ne suit pas toujours la mise à l'échelle théorique de \({k}_{\eta }\propto {\Pr }_ {{{{\rm{M}}}}}^{3/4}\) avec PrM. Pour la région I, où PrM est proche de 1, cet écart est jusqu'à un facteur de trois et l'écart par rapport à l'échelle PrM attendue est le plus prononcé ici. Ces écarts ont été associés aux montages numériques injectant de l'énergie à une échelle de forçage bien supérieure à l'échelle de dissipation, c'est-à-dire kf ≪ kη (réf. 1). De plus, nos simulations dans la région I ont également un Re relativement faible et donc les effets numériques ne sont pas négligeables. Dans la région III (faible PrM), kM/kη se rapproche du facteur de décalage constant de 0,75. Par conséquent, la mise à l'échelle de kM/kη avec PrM se rapproche de celle attendue. Ce résultat indique à nouveau que la SSD à faible PrM est différente de celle à PrM ≈ 1.

Une augmentation de \({{{{\rm{Re}}}}}_{{{{\rm{M}}}}}^{{{{\rm{crit}}}}}\) avec une diminution PrM suivi d'un nivellement asymptotique pour PrM ≪ 1 était attendu à la lumière de la théorie et des études numériques précédentes. Au lieu de cela, nous avons trouvé un comportement non monotone en fonction de PrM ; on pourrait le mettre en relation avec le phénomène hydrodynamique du goulot d'étranglement. Si le nombre d'onde magnétique caractéristique se situe dans la partie à gradient positif du spectre compensé, où la pente spectrale est nettement réduite de -5/3 à environ -1,4, la dynamo est la plus difficile à exciter (0,1 ≥ PrM ≥ 0,04). Pour des PrM plus ou moins élevées, la dynamo devient de plus en plus facile à exciter. Le changement local de pente dû au goulot d'étranglement a souvent été lié à une augmentation de la "rugosité" de l'écoulement1,10,43, qui devrait durcir l'excitation de la dynamo sur la base des prédictions théoriques4,9 de la théorie cinématique de Kazantsev45. Conformément à la théorie, la partie augmentant la rugosité du goulot d'étranglement n'apparaît cependant décisive dans nos résultats que lorsque kM est utilisé comme critère. L'utilisation de kη suggérerait au contraire que le pic du goulot d'étranglement est décisif10. Une telle interprétation semble incorrecte, car l'estimation approximative de kη utilisée ici ne représente pas le spectre magnétique de manière adéquate et le pic du goulot d'étranglement ne coïncide pas avec le maximum de "rugosité".

Pour nos simulations, nous utilisons une boîte cartésienne cubique de longueur d'arête L et résolvons les équations magnétohydrodynamiques isothermes sans gravité, similaires à refs. 5,47.

où u est la vitesse d'écoulement, cs est la vitesse du son, ρ est la densité de masse, B = ∇ × A est le champ magnétique avec A étant le potentiel vectoriel et ∇ est le vecteur gradient. J = ∇ × B/μ0 est la densité de courant avec la perméabilité magnétique au vide μ0, tandis que ν et η sont respectivement la viscosité cinématique constante et la diffusivité magnétique. Le tenseur de vitesse de déformation Sij = (ui,j + uj,i)/2 − δij∇ ⋅ u/3 est sans trace, où δij désigne le delta de Kronecker, et la notation d'Einstein convection s'appliquant à leurs indices i et j. La fonction de forçage f fournit des ondes planes transversales non hélicoïdales blanches dans le temps aléatoires, qui sont ajoutées à chaque pas de temps à l'équation de quantité de mouvement (voir réf. 5 pour plus de détails). Les nombres d'onde du forçage se situent dans une bande étroite autour de kf = 2k1 avec k1 = 2π/L. Son amplitude est choisie de telle sorte que le nombre de Mach Ma = urms/cs soit toujours autour de 0,082, où \({u}_{{{{\rm{rms}}}}}=\sqrt{{\langle {{{{ \bf{u}}}}}^{2}\rangle }_{V}}\) est le volume et la valeur moyenne quadratique moyenne dans le temps. Les valeurs Ma de toutes les exécutions sont répertoriées dans le tableau supplémentaire 1. Pour normaliser le taux de croissance λ, nous utilisons un temps de rotation estimé τ = 1/(urmskf )≈ 6/(k1cs). Les conditions aux limites sont périodiques pour toutes les grandeurs et nous initialisons le champ magnétique avec un faible bruit gaussien.

La diffusion est contrôlée par les paramètres prescrits ν et η. En conséquence, nous définissons les nombres de Reynolds fluide et magnétique avec le nombre d'onde de forçage kf comme

Nous avons effectué des expériences numériques de désintégration libre (section supplémentaire 7), à partir desquelles nous confirmons que les diffusivités numériques sont négligeables.

Les densités spectrales d'énergie cinétique et magnétique sont définies via

où \({B}_{{{{\rm{rms}}}}}=\sqrt{{\langle {{{{\boldsymbol{B}}}}}^{2}\rangle }_{V }}\) est la valeur moyenne quadratique moyenne en volume et 〈ρ〉V est la densité moyenne en volume.

Notre montage numérique utilise un modèle de turbulence nettement simplifié par rapport à celui réel dans le Soleil. Là, la turbulence est entraînée par une convection tournante stratifiée qui n'est bien sûr ni isotherme ni isotrope. Cependant, ces simplifications étaient jusqu'à présent nécessaires lors de la réalisation d'une étude de paramètres à des résolutions aussi élevées que la nôtre. Néanmoins, nous pouvons relier notre étude aux paramètres solaires en termes de PrM et Ma. Leurs valeurs choisies représentent le mieux les couches faiblement stratifiées dans le volume de la zone de convection solaire, où PrM ≪ 1 et Ma ≪ 1. L'anisotropie dans l'écoulement aux petites échelles y est beaucoup plus faible que près de la surface et donc proche de notre ensemble simplifié -en haut.

Données pour reproduire les Fig. 2, 3 et 5 sont inclus dans l'article et ses fichiers d'informations supplémentaires. Les données brutes (séries chronologiques, spectres, tranches et instantanés) sont fournies par le service IDA/Fairdata hébergé au CSC, Finlande, sous https://doi.org/10.23729/206af669-07fd-4a30-9968-b4ded5003014. A partir des données brutes, les Figs. 1 et 4 peuvent être reproduits.

Nous utilisons le Pencil Code48 pour effectuer toutes les simulations, avec des transformées de Fourier rapides parallélisées pour calculer les spectres à la volée49. Pencil Code est disponible gratuitement sur https://github.com/pencil-code/.

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Nous saluons les discussions fructueuses avec A. Brandenburg, I. Rogachevskii, A. Schekochihin et J. Schober au cours du programme Nordita sur "l'évolution du champ magnétique dans les plasmas à faible densité ou fortement stratifiés". Les ressources informatiques du SCC pendant le projet pilote Mahti et de Max Planck Computing and Data Facility (MPCDF) sont grandement appréciées. Ce projet, incluant tous les auteurs, a reçu un financement du Conseil européen de la recherche (ERC) dans le cadre du programme de recherche et d'innovation Horizon 2020 de l'Union européenne (Projet UniSDyn, accord de subvention numéro 818665). Ce travail a été réalisé en collaboration avec le COFFIES DRIVE Science Center.

Financement en libre accès fourni par la Max Planck Society

Institut Max Planck pour la recherche sur le système solaire, Goettingen, Allemagne

Jörn Warnecke & Maarit J. Korpi-Lagg

Département d'informatique, Université Aalto, Espoo, Finlande

Marit J. Korpi-Lagg, Frederick A. Gent & Matthias Reinhardt

Nordita, KTH Royal Institute of Technology et Université de Stockholm, Stockholm, Suède

Maarit J. Korpi-Lagg

École de mathématiques, de statistique et de physique, Université de Newcastle, Newcastle upon Tyne, Royaume-Uni

Frédérick A. Gent

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JW a dirigé et tous les auteurs ont contribué à la conception et à la réalisation des simulations numériques. JW a dirigé l'analyse des données. MJK-L. était chargé d'acquérir les ressources informatiques du SCC. Tous les auteurs ont contribué à l'interprétation des résultats et à la rédaction de l'article.

Correspondance à Jörn Warnecke.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

Nature Astronomy remercie Hideyuki Hotta, Michael Rieder et les autres examinateurs anonymes pour leur contribution à l'examen par les pairs de ce travail.

Note de l'éditeur Springer Nature reste neutre en ce qui concerne les revendications juridictionnelles dans les cartes publiées et les affiliations institutionnelles.

Fig. supplémentaires. 1 à 5, tableaux 1 à 3 et discussions dans les sections supplémentaires 1 à 6 avec références.

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Réimpressions et autorisations

Warnecke, J., Korpi-Lagg, MJ, Gent, FA et al. Preuve numérique d'une dynamo à petite échelle approchant les nombres magnétiques solaires de Prandtl. Nat Astron (2023). https://doi.org/10.1038/s41550-023-01975-1

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Reçu : 02 juillet 2022

Accepté : 14 avril 2023

Publié: 18 mai 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41550-023-01975-1

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Astronomie naturelle (2023)